TAK I NIE - KLUCZ DO MINIKOMPUTERA Przedstawione na fotografii urządzenie jest specjalnym zestawem automatów realizujących podstawowe funkcje logiczne, przeznaczonym dla celów dydaktycznych. Zestaw został zaprojektowany i wykonany w Instytucie Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego przez doc. dr Lesława Szczerbą i autora artykułu zamieszczonego na sąsiedniej stronie. Za pomocą przedstawionego zestawu można budować różnorodne układy logiczne modelujące pracę podzespołów maszyn cyfrowych, sprawdzać definicje funkcji oraz podstawowe prawa logiki a nawet montować sieci logiczne zastępujące partnera w prostych grach liczbowych lub sterujące wybrane procesy. Dowolny układ logiczny buduje się przez składanie z elementarnych klocków-modułów i odpowiednie łączenie modułów w sieć logiczną. Moduły, umieszczone na postumencie operacyjnym zestawu, połączone są w sieć logiczną modelującą pracę sumatora binarnego o dwóch pozycjach. Wszystkich Czytelników, którzy chcieliby zbudować wybrany układ lub model minikomputera czy też wykorzystać w innym celu podane w artykule wiadomości, zapraszamy do wspólnych rozważań nad zasadami działania podstawowych elementów maszyny cyfrowej. TAK I NIE - KLUCZ DO MINIKOMPUTERA W ostatnim czasie na rynek światowy zaczęła się prawdziwa inwazja miniaturowych maszyn matematycznych, potocznie zwanych minikomputerami. Wprowadzono całą masę różnego rodzaju i o różnym przeznaczeniu minikomputerów, służących niemal w każdej dziedzinie życia, poczynając od domowej kuchni, a skończywszy na instytucie naukowym. Niewielkie rozmiary, błyskawiczne wykonywanie operacji wielokrotnie przewyższające możliwości człowieka, wysoki poziom estetyczny obudowy i niewątpliwa przydatność praktyczna powodują, że minikomputery są towarem cenionym i chętnie nabywanym, chociaż nie zawsze jest to spowodowane rzeczywistymi potrzebami użytkowników. W niektórych krajach minikomputer, obok szerokiego zastosowania praktycznego, pełni uboczną rolę zabawki dla dzieci. Dzieje maszyn matematycznych, a zatem i minikomputerów, sięgają starożytności. Minikomputer, nazywany też kalkulatorem, nic różni się w swej istocie od popularnego arytmometru mechanicznego czy najzwyklejszych w święcie liczydeł. Swoją Współczesną postać minikomputer zawdzięcza najnowszym osiągnięciom techniki - w szczególności rozwojowi elektroniki i technologii półprzewodników. Jednak zasada działania tej maszyny opiera się na znanych od dawna podstawach matematycznych. Tak więc matematyka, elektronika i miniaturyzacja, wczarowane w pudełeczko z łatwością mieszczące się na dłoni, czynią z nieporęcznych liczydeł wspaniały', nieoceniony wprost instrument pod warunkiem, że tą dłonią kieruje odpowiedni umysł. Niestety, zdarzają się też i ignoranci, którzy urządzają próby wyścigów w liczeniu z maszynami matematycznymi. Próba prześcignięcia w liczeniu minikomputera, o ile nie zna się szczegółów konstrukcyjnych urządzenia, najczęściej przynosi wiadomy i smutny rezultat. Urządzane jeszcze od czasu do czasu zawody szachowe człowiek - maszyna, jeżeli nie służą celom badawczym (ale czy mogą, jeśli są to zawody?) są chybione w samym założeniu. Mistrzowie szachowi niechętnie poddają się takim próbom, ponieważ doskonale o tym wiedzą, że kiedyś maszyna musi wygrać. Jest to tylko kwestia odpowiedniego programu dla odpowiedniej maszyny. Co innego, jeżeli na polu szachowym jako partnerzy do gry potykają się dwie, różne w konstrukcji, maszyny. Bo pomyślmy, czy warto urządzać wyścigi ze sprawnym samochodem na autostradzie albo też czy konkurs siłowy człowiek - dźwig może być zajmującym zajęciem? Niewątpliwie jednak gra z maszyną dostarcza wiele emocji, podobnie jak przypatrywanie się sztuczkom zręcznego iluzjonisty. Kiedy jednak jakiś bystry obserwator spostrzeże istotne momenty, natychmiast czarodziejski kapelusz iluzjonisty zamienia się w schowek, a lśniące rękawy fraka stają się pełne piłeczek, kolorowych chustek i tuzina innych Wnętrze elementarnego klocka-modułu, który jest jednym z elementów urządzenia realizującego podstawowe funkcje logiczne (patrz fot. na sąsiedniej stronie) przedmiotów. Podobnie w automatach do gier i w innych maszynach znajdują się zaszyfrowane przepisy postępowania, zwane algorytmami, których nieznajomość jest głównym źródłem wszelkiego rodzaju emocji. Tych kilka słów wstępu ma na celu umocnienie Czytelnika w przekonaniu, że jak dotychczas, żadna maszyna nie jest niczym innym, jak tylko maszyną w pełnym tego słowa znaczeniu, nawet jeśli to jest maszyna matematyczna. Minikomputer jest znacznie mniej skomplikowany od przeciętnej, stacjonarnej maszyny cyfrowej, jest właściwie mało rozbudowanym arytmometrem maszynowym, który wymaga sterowania ręcznego. Samodzielna budowa minikomputera odpowiadającego klasą konstrukcjom fabrycznym jest praktycznie nieopłacalna, chyba że dysponuje się gotowymi podzespołami. Można jednak z powodzeniem wykonać (i to z pełnym zrozumieniem) uproszczony model minikomputera wykonującego operacje na liczbach naturalnych. Czytelnicy, których zainteresuje ten artykuł, będą mieli okazję przypomnieć sobie niektóre pojęcia matematyczne i sporo pomaj- sterkować podczas przetwarzania tych pojęć w działanie elementów maszyn cyfrowych. Pozycyjne układy liczenia Wszyscy znamy dziesiątkowy układ liczenia, którym posługujemy się w życiu codziennym. Układ dziesiątkowy, nazywany też systemem dziesiątkowym, ma dziesięć znaków do zapisywania liczb, mianowiecie: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Liczby zapisane w systemie dziesiątkowym mają charakterystyczny podział na pozycje, zwane też rzędami, np. liczba 101 ma trzy rzędy: rząd jedności, rząd dziesiątek i rząd setek. Każda liczba w tym systemie liczenia daje się zapisać w postaci odpowiedniego ciągu znaków, z których każdy zajmuje odpowiednią pozycję, przy czym dziesięć jednostek niższej pozycji (rzędu) daje jedną jednostkę pozycji bezpośrednio wyższej. Ogólnie przyjęty sposób zapisu liczb w pozycyjnym, dziesiątkowym układzie liczenia ustala, że rząd jedności znajduje się z prawej, skrajnej strony ciągu znaków (cyfr) reprezentujących daną liczbę, rząd dziesiątek - na lewo od rzędu jedności, bezpośrednio po nim, rząd setek-na lewo od rzędu dziesiątek bezpośrednio po nim itd Cyfry są to symbole graficzne, znaki, służące do przedstawiania liczb i w żadnym razie nie należy utożsamiać cyfry z liczbą. JLięzha jest pojęciem czysto abstrakcyjnym! Następujący przykład pozwoli lepiej zrozumieć tę subtelność, szczególnie złudną dla układu dziesiątkowego. Zapiszemy ciąg cyfr przedstawiających liczbę - 234. Umówmy się teraz, że zmieniamy symbole graficzne cyfr. Niech cyfrę 2 zastąpi znak ★ (gwiazdka), niech cyfrą 3 będzie O (kółko) i odpowiednio cyfrą 4 - cyfra 1. Jeżeli zapiszemy liczbę 234 w nowym systemie znakowania, tograficznie przedstawi się ona w zupełnie innej postaci, a mianowicie ★ O l. Rozumiemy jednak, że chodzi dokładnie o tę samą liczbę. Innym przykładem może być słowny zapis tej liczby - dwieście trzydzieści cztery. Znowu mamy do czynienia z tą samą liczbą, chociaż jej zapis wygląda zupełnie inaczej. Mówiąc niezbyt precyzyjnie: liczba jest pojęciem, które powstaje i jest w naszym umyśle, natomiast to, co zapisujemy na tablicy czy na papierze, to nic innego jak trochę kredy czy tuszu ukształtowane według jakiejś umowy i wywołujące w naszej wyobraźni pojęcie liczby. Oprócz dziesiątkowego, pozycyjnego układu liczenia stosuje się jeszcze inne pozycyjne układy liczenia. Dla maszyn matematycznych najbardziej odpowiednim układem liczenia okazał się pozycyjny układ liczenia o podstawie dwa, zwany krótko układem dwójkowym lub binarnym. Zanim jednak przejdziemy do układu dwójkowego, poznajmy jeszcze inny sposób zapisu liczby. Weźmy liczbę 325. Przedstawmy tę liczbę w postaci sumy 300 + 20 + 5, a następnie w postaci 3•102 + 2•101 + 5•100. W podobny sposób można przedstawić dowolną liczbę np. 3241. 3241 = 3000 + 200 + 40 + 1 = 3 • 103 + 2 • 102 + ... + 4 • 101 + 1 • 100. Jak widzimy, takie rozwinięcie liczby wymaga wypisania kolejnych potęg podstawy liczenia, począwszy od potęgi zerowej, wymnoże- nia tych potęg odpowiednio przez liczbę jedności, dziesiątek, setek itd. i następnego zsumowania powstałych iloczynów. Powyższy sposób zapisu znakomicie ułatwia tabelka: 103 | 102 | 101 | 10° | liczba tysięcy | liczba setek | liczba dziesiątek | liczba jedności | IV | III | II | I | pozycje(rzędy) Nad każdym polem znajdują się kolejno wzrastające potęgi podstawy liczenia, począwszy od prawej strony. Jeżeli teraz wpiszemy daną liczbę w pola, Maszyna do gry „NIM". Wkładając wtyczki maszyny w odpowiednie gniazda można uzyskać zapis liczby w dowolnym układzie liczenia |